便利関数群

ヒントになる関数リストまとめ。


基本系

$y=x$

  • (0,0),(1,1)を通過する
## $y=x^a$ - (0,0),(1,1)を通過する。 - aの値で歪み方が変わる --- # 範囲に収める系 値の取る範囲が広範だが、それを特定の区間に収めたい場合に使う。 ## $\cfrac{x}{a+x}$ - $[0,\inf]$->$[0,1)$ - aで鋭さを調整。 ## $\cfrac{2 \arctan (ax)}{\pi}$ - $[-∞,∞]$->$[-1,1]$ - aで鋭さを調整する。 ## $\cfrac{1}{1+e^{-ax}}$ - $[-∞,∞]$->$[0,1]$ - いわゆるシグモイド関数。 - aで鋭さを調整。 --- # ステップ関数系 ある状態からある状態(0->1もしくは1->0)に遷移するときに使う。 ## $clamp(\cfrac{x-a}{b-a} )$ - aからbの間でステップしたい場合。 - a->bにすると中間的な遷移がない純粋なステップ関数になる。 - さらにa->0, b->0でヘビサイド関数となる。 - aとbはC1連続ではない。

$\cfrac{sin(\pi x)}{2}$

  • 周期的な関数だが、[0,1]だけ見てステップ関数として使える。
  • (0,0),(1,1)を通過する
  • 形の調整はできない。

$3x^2 - 2t^3$及び$6*t^5 - 15*t^4 + 10*t^3$

  • いわゆるsmoothstep。
  • (0,0),(1,1)を通過する。
  • 形の調整はできない。
  • 3次まであるのは、0,1でC1連続(変化が滑らか)なバージョン。
  • 5次まであるのは、0,1でC2連続(\“変化の変化\“も滑らか)なバージョン。

$exp^{(-a|x^b|)}$

  • bで鋭さを、aでステップのタイミングを決定する。
  • (0,1),(1,1/(ae))を通る。(1/e=0.367..)
  • nが偶数であれば絶対値を取る必要は無い

bを変化させた場合。aは1。

aを変化させた場合。bは8。


インパルス系

瞬間的に出力があるようなものに使う。

$ax~e^{1-ax}$

  • $\cfrac{1}{a}$の場所にピークを持つインパルス

参照