72の法則

複利が利く資産が元本の二倍になるまでの時間を簡単に知りたい。

素直な方法

複利の定義から$N$年後の複利$r$の利いた資産の総額の元本比は次のようになる。

$ t = (1+r)^N $

これから資産が元本の二倍になるまでの時間は$t$が2の時の$N$なので、次のようになる。

$ 2 = (1+r)^N \nonumber \\\ ln(2) = N ln(1+r) \nonumber \\\ N = \cfrac{ln(2)}{ln(1+r)} \nonumber \\\ N = \cfrac{ln(2)}{ln(1+r)} \nonumber \\\ N \approx \cfrac{0.69}{ln(1+r)} \nonumber \\\ $

しかし$ln(1+r)$を暗算するのは難しい。

72の法則

複利計算の有名な簡便法として「Rule of 72(72の法則)」がある。これによると元本が二倍になるまでの時間は次のようになる。

$ T_{元本2倍} = \cfrac{72}{100r} $

複利が2%であれば36年(=722)、4%であれば18年(=724)、8%であれば9年(=728)ということになる。

原理

$ln(1+r)$をマクローリン展開する。

$ ln(1+r) = r - \cfrac{1}{2}r^2 + \cfrac{1}{3}r^3 - .... $

複利$r$は大抵の場合1に比べて小さいので、2次以降は無視できる。

$ ln(1+r) \approx r $

これを先の式に適用する。

$ N \approx \cfrac{0.693}{r} = \cfrac{69.3}{100r} $

分母は69.3であるはずが、簡便法では72となっている。これは単純に69.3では暗算がしづらいので、そこからそれなりに近く約数が多い72が採用されているだけだ(70もそこそこ約数があるので、これで計算することもある)。

比較

実際の計算結果と72の法則の比較が以下だ。だいぶ近似したような感じがするが、結果はほとんど同じなる。

compound_interest

1